ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DE CONDUCCIÓN DE CALOR

En calor puede transferirse a un cuerpo de manera unidimensional, bidimensional y tridimensional.
En este caso resolveremos casos unidimensionales

Coordenadas.-
La dirección que tomará el flujo de calor dependiendo de la forma del cuerpo

Estado estable.-
El estado es estable cuando las propiedades no cambian al pasar el tiempo.

Estado transitorio.-
El estado es transitorio cuando las propiedades si cambian con respecto al tiempo.

Transferencia de calor multidimensional.-
El flujo de calor Q tiene magnitud y dirección, y puede transferirse a través de las tres dimensiones, estos flujos quedan como cantidades vectoriales y sumándolas se obtiene el flujo de calor tridimensional.

Generación de calor.-
Revisaremos este balance de energía para comprender el origen de este término

Acumulación = Entrada - Salida + Formación - Consumo

Formación - Consumo = Generación

Acumulación = Entrada - Salida + Generación

Sabiendo esto tenemos que:

Caso especial:

ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DE CONDUCCIÓN DE CALOR EN UNA PARED PLANA

A partir de aquí realizamos el siguiente análisis matemático para revisarlo a detalle da clic aquí

Al final nos queda la siguiente forma:

Nota: Por lo general se trabaja con valores de k constantes, si queremos que sea constante debemos sacar un valor promedio con la temperatura de esta forma k sale de la derivada a dividir por los otros términos, esto aplica para todos los casos (pared plana, cilindro largo, esfera) para ver como ocurre esto revise el análisis matemático.

La ecuación queda de la siguiente manera:

En este punto aplicamos las condiciones a la ecuación estas dependen de lo que se esté analizando

Estado estacionario:

Estado transitorio sin generación de calor:

Estado estacionario sin generación de calor:

ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DE CONDUCCIÓN DE CALOR EN UN CILINDRO LARGO

En esta figura cambiamos las coordenadas por las cilíndricas en donde x=r para revisar el análisis completo de la ecuación da clic aquí

Al final nos queda de la siguiente forma:

En este punto aplicamos las condiciones a la ecuación estas dependen de lo que se esté analizando
Estado estacionario:

Estado transitorio sin generación de calor:

Estado estacionario sin generación de calor:

ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DE CONDUCCIÓN DE CALOR EN UNA ESFERA

Realizamos el mismo procedimiento que con las figuras anteriores solo cambiando las coordenadas, para revisar el análisis completo de la ecuación da clic aquí
Al final nos queda de la siguiente forma:

 En este punto aplicamos las condiciones a la ecuación estas dependen de lo que se esté analizando
Estado estacionario:

Estado transitorio sin generación de calor:

Estado estacionario sin generación de calor:

Fuente: Cenguel, Transferencia de calor y masa, 3º Edición.